Cinque marinai ed una scimmia fecero naufragio su un’isola deserta e passarono il primo giorno a raccogliere noci di cocco per cibo. Poi le ammucchiarono tutte insieme e andarono a dormire. Ma mentre tutti dormivano uno di essi si svegliò e pensando che il mattino dopo vi sarebbero stati dei litigi alla spartizione, decise di prendersi la sua parte. Perciò divise le noci in cinque mucchi. Rimaneva una noce, che egli dette alla scimmia, poi nascose la sua parte e mise tutto il resto assieme. Subito dopo un secondo uomo si svegliò e fece la stessa cosa. Anch’egli dette una noce residua alla scimmia. Uno dopo l’altro tutti e cinque gli uomini fecero la stessa cosa, ognuno prendendo un quinto del mucchio e dando una noce alla scimmia. Alla mattina divisero le noci ed ognuno ottenne lo stesso numero. Naturalmente ognuno sapeva che mancavano delle noci, ma ognuno era colpevole come gli altri e così nessuno parlò. Quante noci c’erano all’inizio?
E se i marinai fossero N?
tratto da "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner
Soluzione
La risposta è 3121 noci. In realtà in questo caso la risposta non è unica, ma chiaramente una volta nota una soluzione le altre potranno essere ottenute semplicemente sommando o sottraendo una costante che in questo caso vale 56 = 15625. In questo caso 3121 rappresenta il numero minimo di noci di cocco. Per ricavare questo valore è sufficiente risolvere il seguente sistema.
Y = 5 x A + 1
4 x A = 5 x B + 1
4 x B = 5 x C + 1
4 x C = 5 x D + 1
4 x D = 5 x E + 1
4 x E = 5 x F
in cui Y è il numero totale di noci all’inizio, F è il numero di noci che ciascun uomo riceve al termine della spartizione, A B C D E sono il numero di noci prese da ciascun marinaio durante la notte ed infine il +1 indica la noce che viene ogni volta data alla scimmia. Da notare che tutti questi valori devono essere interi.
Facendo delle semplici sostituzioni di variabili si ottiene:
1024 x Y = 15625 x F + 8404
A questo punto bisogna risolvere questa equazione tenendo presente che i risultati devono essere interi. Si può anche procedere per tentativi, ma ci sono dei metodi matematici precisi che permettono la risoluzione. Ad esempio ci si può ricondurre ad un problema di programmazione lineare intera (si veda un qualunque libro di ricerca operativa), in cui la precedente equazione rappresenta un vincolo e la funzione obiettivo da minimizzare è semplicemente Y, cioè il numero di noci. Così procedendo si ottiene la soluzione preannunciata 3121.
Nel caso generale di N mariani la soluzione è data da:
Per N dispari:
(1 + N x K) x NN – (N – 1)
Per N pari:
(N – 1 + N x K) x NN – (N – 1)
con K intero.
Per una trattazione più approfondita vi consiglio di consultare il libro “Enigmi e giochi matematici” di Martin Gardner in cui c’è un intero capitolo dedicato a questo enigma.