Supponiate che un giorno riusciate a contattare un marziano e gli proponiate di risolvere una semplice equazione:
x2 – 16 x + 41 = 0
Se lui vi dicesse che la differenza delle radici vale 10, quante dita avrebbe il marziano?
Soluzione
Il marziano ha 8 dita. Il gioco sta nel capire che il numero di dita del marziano equivale alla base del suo sistema di numerazione, e quindi si tratta di individuare dai dati forniti qual è la base B esprimendo con la quale i numeri si riesce a fare tornare i conti. Innanzitutto possiamo dire che si tratta di una base maggiore di 6 visto che la cifra 6 compare nell’equazione.
Facciamo prima un piccolissimo richiamo sulle equazioni di 2° grado. Supponendo che le radici di un equazione siano a e b e che il coefficiente di x2 nell’equazione sia unitario, l’equazione può essere riscritta in questo modo:
(x – a) (x – b)=0
cioè:
x2 – (a + b) x + a b = 0
ovvero si ha che il coefficiente di x è uguale alla somma delle radici cambiata di segno e il termine noto è il prodotto delle due radici. A questo punto, visto che conosciamo i coefficienti dell’equazione possiamo scrivere (denotando con B la base di numerazione del marziano espressa in base 10 e supponendo a>b ):
a + b = (16)B = (B + 6)10
a b = (41)B = (4B + 1)10
a – b = (10)B = (B)10
da cui ricaviamo:
a = (3)10
b = (B+3)10
a b = [3 (B + 3)]10 = [4 B + 1]10
B = 8
Possiamo verificare che riscrivendo tutto in base 10 si ha:
x2 – 14 x + 33 = 0
le cui radici sono x=3 e x=11.